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内容简介:
没有证明，就没有真正的数学！
数学史巨匠约翰·史迪威新作，全彩印刷磅礴数学史
◎内容简介
证明是数学思想中十分重要且极具开拓性的特征之一。没有证明，我们就无法谈论真正的数学。
本书从古希腊几何学时代讲起，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事，讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。我们将看到欧几里得、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。本书不是教材，而是在讲数学的历史，更是在讲数学思想的演变。作者揭示了数学学习和研究的底层方法和逻辑，让读者看到在数学中什么定理可以被证明、如何证明，以及什么问题可以（或无法）被解决，为数学研究和发展提供了全新的视角。
◎编辑推荐
☆数学史泰斗约翰·史迪威新作。
☆没有证明，就没有真正的数学。
☆无论在数学中还是在生活中，人类不仅要知道哪些东西是真的，哪些不是真的，更要知道它们为什么是真的。
◎广受赞誉
视角独特、妙趣横生，感受数学与证明“你中有我，我中有你”的悠久历史。
——阿尼尔·内罗德
美国康奈尔大学数学教授
这本书生动地回答了两个问题：数学是如何通过新概念和新思想来解决问题的？逻辑和可计算性理论又是如何从数学思想中诞生的？
——杰里米·阿维加德
美国卡内基–梅隆大学哲学与数学教授
作者将数学领域的重要思想收集、分类，精彩再现数学的发展历程。
——吉姆·斯坦
美国加利福尼亚州立大学数学教授
证明在数学中至关重要，我们不仅要知道哪些是真的，哪些不是真的，更要知道它们为什么是真的。
——阿德马·布尔瑟尔
比利时鲁汶大学计算机科学教授
无所不包的数学通史，权威性十足，带我们走进“证明”充满创造力的关键领域。
——戴维·M. 布雷苏
《微积分溯源：伟大思想的历程》作者
美国玛卡莱斯特学院数学教授，美国数学协会前会长
本书从证明的起源开始，揭示了定义、定理和证明的真正含义，帮助我们从直觉上理解证明，展现了逻辑、计算和抽象如何在证明的世界中结合在一起。
——乔纳森·肖克
南非开普敦大学数学与应用数学系副教授
这本书写得非常出色，尽管我不是数学家，而且部分内容超出了我的理解范围，但我完全不介意，这反而激励我了解那些不熟悉的数学分支。如果你对数学的运作方式感到好奇，那么这本书非常适合你。
——读者评论
作者简介:
[澳] 约翰·史迪威 / John Stillwell
澳大利亚数学家，美国麻省理工学院博士，旧金山大学荣休教授，首届美国数学学会会士（Fellow）。1994年国际数学家大会特邀报告人。
2005年荣获美国数学协会享有盛誉的“肖夫内奖”（Chauvenet Prize）。他是优秀的数学作者，本书和《数学及其历史》均为其代表作。
序言 iv
第1章 欧几里得之前 1
1.1 勾股定理 2
1.2 勾股数组 4
1.3 无理数 7
1.4 从无理数到无穷 8
1.5 对无穷的敬畏 11
1.6 欧多克斯 12
1.7 附注 15
第2章 欧几里得 16
2.1 定义、定理和证明 17
2.2 等腰三角形定理与SAS 19
2.3 平行公设的变体 22
2.4 再谈勾股定理 25
2.5 代数概览 26
2.6 数论与归纳法 29
2.7 几何级数 32
2.8 附注 36
第3章 欧几里得之后 38
3.1 关联 39
3.2 顺序 40
3.3 合同 43
3.4 完备 44
3.5 欧几里得平面 47
3.6 三角形不等式 49
3.7 射影几何 50
3.8 帕普斯定理和德萨格定理 54
3.9 附注 58
第4章 代数 60
4.1 二次方程 61
4.2 三次方程 63
4.3 作为“普遍算术”的代数 67
4.4 多项式与对称函数 68
4.5 近世代数：群 72
4.6 近世代数：域与环 76
4.7 线性代数 80
4.8 近世代数：向量空间 81
4.9 附注 85
第5章 代数几何 91
5.1 圆锥曲线 92
5.2 费马和笛卡儿 94
5.3 代数曲线 96
5.4 三次曲线 100
5.5 贝祖定理 102
5.6 线性代数和几何 104
5.7 附注 106
第6章 微积分 108
6.1 从列奥纳多到哈里奥特 109
6.2 无穷求和 111
6.3 牛顿的二项式级数 115
6.4 巴塞尔问题的欧拉解法 118
6.5 变化率 120
6.6 面积和体积 124
6.7 无穷小代数和几何 128
6.8 级数微积分 134
6.9 代数函数及其积分 138
6.10 附注 141
第7章 数论 144
7.1 初等数论 145
7.2 再谈勾股数组 149
7.3 费马最后定理 154
7.4 数论中的几何与微积分 157
7.5 高斯整数 163
7.6 代数数论 171
7.7 代数数域 174
7.8 环和理想 178
7.9 整除和素理想 183
7.10 附注 186
第8章 代数基本定理 190
8.1 在证明之前的定理 190
8.2 代数基本定理的早期“证明”及其漏洞 193
8.3 连续性和实数 195
8.4 戴德金对实数的定义 196
8.5 代数学家的基本定理 198
8.6 附注 200
第9章 非欧几里得几何 201
9.1 平行公设 202
9.2 球面几何 203
9.3 球面几何的平面模型 207
9.4 微分几何 209
9.5 常曲率几何 214
9.6 贝尔特拉米的双曲几何模型 218
9.7 复数的几何 222
9.8 附注 224
第10章 拓扑学 227
10.1 图 228
10.2 欧拉多面体公式 233
10.3 欧拉示性数和亏格 237
10.4 作为曲面的代数曲线 239
10.5 曲面的拓扑 242
10.6 曲线奇点和纽结 247
10.7 赖德迈斯特移动 250
10.8 简单的纽结不变量 253
10.9 附注 258
第11章 算术化 260
11.1 的完备性 261
11.2 直线、平面和空间 263
11.3 连续函数 263
11.4 定义“函数”和“积分” 265
11.5 连续性和可微性 271
11.6 一致性 273
11.7 紧致性 277
11.8 编码连续函数 281
11.9 附注 283
第12章 集合论 288
12.1 无穷简史 289
12.2 等势集合 291
12.3 与等势的集合 297
12.4 序数 299
12.5 用集合实现序数 301
12.6 根据秩对集合排序 305
12.7 不可达性 306
12.8 无穷的悖论 307
12.9 附注 308
第13章 数、几何和集合的公理 312
13.1 皮亚诺算术 313
13.2 几何公理 316
13.3 实数的公理 318
13.4 集合论的公理 319
13.5 附注 322
第14章 选择公理 324
14.1 选择公理和无穷 325
14.2 选择公理和图论 326
14.3 选择公理和分析学 327
14.4 选择公理和测度论 329
14.5 选择公理和集合论 332
14.6 选择公理和代数学 333
14.7 更弱的选择公理 337
14.8 附注 340
第15章 逻辑与计算 342
15.1 命题逻辑 343
15.2 命题逻辑的公理 345
15.3 谓词逻辑 350
15.4 哥德尔完备性定理 352
15.5 逻辑归约为计算 355
15.6 可计算枚举集 357
15.7 图灵机 359
15.8 半群的字问题 365
15.9 附注 370
第16章 不完全性 375
16.1 从不可解性到不可证性 376
16.2 句法的算术化 377
16.3 根岑对PA一致性的证明 380
16.4 算术中暗含的ε0 384
16.5 可构造性 387
16.6 算术概括 390
16.7 弱柯尼希引理 392
16.8 五大子系统 394
16.9 附注 396
参考文献 397
· · · · · · (收起)
原文摘录:
证明是数学的荣耀，也是其最具特色的特征。然而，许多数学家并不认为证明本身是一个有趣的话题。在美国，直到大学高年级，证明才被视为数学教育的一个重要部分，那时会开设“证明导论”课程。然而，通过保留证明的概念，我们阻止了学生了解数学实际上是如何运作的。在确定一个更谦逊但准确的书名之前，我曾考虑将本书命名为《数学是如何运作的》。它是关于证明的——不仅关于证明是什么，还关于它从哪里来，或许还有它将往何处去。
我们知道数学具有逻辑结构，也知道这个结构是在不断变化的，这反映了它在人类集体思维中的演变。通常，证明一个给定定理或发展一个给定理论的方法不止一种。往往最先被发现的方法并不是最简单的或最自然的，但旧方法的痕迹因为历史惯性或因为它们迎合了人类的感官或心理而留存下来。例如，几何学继续迎合人类的视觉直觉，即使它可以通过代数学或分析学的符号方法来完成。因此，由于意识到历史和逻辑问题，人类的数学经验得到了极大丰富，我们应该把数学作为一种丰富的经验呈现给学生们。我相信，即使是数学家，在看到证明在数学中的演变时也会受到启发，因为数学的进步往往是证明概念的进步。
本书的一个主要主题是逻辑与计算之间的关系，这里的“计算”被广泛地理解为包括经典代数。在古希腊，逻辑很强（尽管主要应用于几何），而计算很弱。在古代中国和古印度，计算占主导地位。当代数从古印度通过阿拉伯地区传入欧洲时，欧洲的情况也是一样的。接下来在17世纪，欧洲进一步迈向了无穷小代数，即微积分，它在接下来的两个世纪里主导了数学（和物理学）。莱布尼茨在未发表的著作中梦想将逻辑本身归约为代数演算。当布尔在1847年创造了我们现在所称的布尔代数时，莱布尼茨的梦想开始成形，从而将逻辑的重要部分归约为真正的计算。
但是，直到20世纪，数学的完整逻辑和计算的完整概念才被很好地理解。在1879年，弗雷格描述了适用于数学的逻辑，但逻辑和计算是数学概念而不仅仅… (查看原文)
图灵新知
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2025-02-12 10:20:03
—— 引自章节：序言 iv